Question

【題目】已知函數（為自然對數的底, 為常數）.

（Ⅰ）討論函數的單調性;

（Ⅱ）對于函數和,若存在常數,對于任意,不等式都成立,則稱直線是函數的分界線,設,問函數與函數是否存在“分界線”？若存在,求出常數;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，得在上單調遞增，再分和兩種情況討論，即可求解函數的單調性；

（Ⅱ）把存在恒成立，轉化為恒成立，進而只需判斷是否恒成立，設出新函數，利用導數得到函數單調性和最值，即可求解實數的值．

試題解析：

（Ⅰ）當時, ,則在上單調遞增

當時, ,令

若,則隨的變化情況如下表：

則在單調遞減,在單調遞增

若,則隨的變化情況如下表：

則在單調遞增,在單調遞減

綜上,當時, 在R上單調遞增;當時, 在單調遞減,在單調遞增;當時, 在單調遞增,在單調遞減

（Ⅱ）若存在,則恒成立,令,則,則

恒成立即恒成立,由得

現在只需判斷是否恒成立

設,則,令

且當時, ;當時,

則在處取得最小值,且

則恒成立,即證恒成立

故存在分界線,且, ,