Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）寫出函數的單調遞減區間(無需證明) ；

（Ⅲ）若實數滿足，則稱為的二階不動點，求函數的二階不動點的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ），；（Ⅲ）3.

【解析】

（Ⅰ）根據函數解析式，由內而外逐步代入即可求出結果；

（Ⅱ）根據題意，得到函數的解析式，進而可得出其單調遞減區間；

（Ⅲ）先由題意，得到，分別討論，，三種情況，結合函數零點存在定理，即可求出結果.

（Ⅰ）因為，，所以，

所以．

．

（Ⅱ）因為，

當時，，遞減區間為：；

當時，，遞減區間為；

因此函數的單調遞減區間為：，．

（Ⅲ）由題可得：．

當時，由，記，

則在上單調遞減，且，，

故在上有唯一零點，即函數在上有唯一的二階不動點．

當時，由，得到方程的根為，即函數在上有唯一的二階不動點．

當時，由，記，

則在上單調遞減，且，，

故在上有唯一零點，即函數在上有唯一的二階不動點．

綜上所述，函數的二階不動點有3個．