Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，離心率為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交于， 兩點(diǎn)，若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線，不等式 恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）采用待定系數(shù)法，根據(jù)條件所給的幾何關(guān)系列式，再結(jié)合 ，解出 ；（2）首先分兩種情況，當(dāng)直線與軸垂直的時(shí)候，可得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而計(jì)算可得的值，當(dāng)直線與軸不垂直的時(shí)候，設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，帶入的坐標(biāo)關(guān)系,得到函數(shù)的最大值，比較兩種情況下的最大值， ，從而得出的最小值.

試題解析：（1）依題意， ，

解得， ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，

，

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)， ， 且，

此時(shí)， ， .

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線： ，

由，得，

， ，

要使不等式 恒成立，

只需，即的最小值為.