Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，右準線l與x軸相交于點E，，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（I）求橢圓的方程及離心率；
（II）當時，求直線AB的方程；
（III）求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)短軸長求得b，進而根據(jù)聯(lián)立方程組，求得a和c，則橢圓的方程和離心率可得．
（2）求得點P的坐標，設(shè)直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)一元二次方程求得x₁和x₂的表達式，根據(jù)AD∥BC∥x軸，且，可知求得k，則直線AB的方程可得．
（3）根據(jù)F和E的坐標，求得N的坐標，當AB⊥x軸時A，B，C的坐標可知，進而求得AC中點的坐標，判斷出AC經(jīng)過線段EF的中點N；當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），分別表示出AN和CN的斜率，進而表示出兩斜率之差求得結(jié)果為0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共點N，進而可知A，C，N三點共線．推斷出直線AC經(jīng)過線段EF的中點N．最后綜合可得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為：
由2b=2得b=1．
又，∴解得．
∴橢圓方程為：．
離心率．
（II）由（I）知點F坐標為（1，0），又直線AB的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，
則AB的方程為y=k（x-1）．
由得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是（*）方程兩根，且x₁＜x₂，
∴．
∵AD∥BC∥x軸，且，
∴即，解得k=±1．
∴直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．
（III）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為．
①當AB⊥x軸時，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此時AC的中點為，即AC經(jīng)過線段EF的中點N．
2當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
由（*）式得．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得，
故直線AN，CN的斜率分別為，
∴．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線．
∴直線AC經(jīng)過線段EF的中點N．
綜上所述，直線AC經(jīng)過線段EF的中點．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．涉及了直線與橢圓的關(guān)系，在設(shè)直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．