Question

（2012•天津模擬）已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定橢圓的短半軸長，再根據兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）分類討論：（1）若l與x軸重合時，顯然M與原點重合，m=0；（2）若直線l的斜率k≠0，則可設l：y=k（x-1），與橢圓的方程聯立，確定PQ的中點橫坐標，進而可得PQ的中點的坐標，根據|MP|=|MQ|，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為橢圓的短軸長：2b=2⇒b=1，
又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以：b=c⇒a²=b²+c²=2；
故橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）（1）若l與x軸重合時，顯然M與原點重合，m=0；
（2）若直線l的斜率k≠0，則可設l：y=k（x-1），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則：

y=k(x-1) x2+2y2-2=0

⇒x2+2k2(x2-2x+1)-2=0
所以化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；x1+x2=

4k2

1+2k2

⇒PQ的中點橫坐標為：

2k2

1+2k2

，
代入l：y=k（x-1）可得：PQ的中點為N(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，
由于|MP|=|MQ|得到m=

k2

2k2+1

所以：m=

k2

1+2k2

=

1

1 k2 +2

∈(0，

1

2

)綜合（1）（2）得到：m∈[0，

1

2

)…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，充分利用|MP|=|MQ|是解題的關鍵．