Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為2

2

，過點M（0，-

1

3

）與x軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知2a=2

2

，由此可得a值，再由離心率可得c值，由a²=b²+c²可求b值；
（2）設l的方程為y=kx-

1

3

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則對于任意的k∈R，

NP

•

NQ

=0恒成立，聯立直線l與橢圓方程，消掉y得x的方程，由韋達定理及向量的數量積運算可把

NP

•

NQ

=0化為關于k的恒等式，從而可得m的方程組，解出即可．

解答：解：（1）因為離心率為

2

2

，又2a=2

2

，∴a=

2

，c=1，故b=1，故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設l的方程為y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x_1•x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則

NP

=(x1，y1-m)，

NQ

=(x2，y2-m)，

NP

•

NQ

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（ kx₂-

1

3

）-m（kx₁-

1

3

+kx₂-

1

3

）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）•（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16

9(2k2+1)

-k（

1

3

+m）•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假設得對于任意的k∈R，

NP

•

NQ

=0恒成立，即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

，解得m=1，
因此，在y軸上存在定點N，使得以PQ為直徑的圓恒過這個點，點N的坐標為（0，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查向量的有關運算，考查學生分析解決問題的能力．