Question

【題目】如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E為OD的中點，OA=AC= AD=2，AC平分∠BAD．

（1）求證：CE∥平面OAB；
（2）求四面體OACE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

取AD中點F，連接EF，CF，則EF∥OA，

∵EF平面OAB，OA平面OAB，

∴EF∥平面OAB，

△ACF中，AC=AF，∠CAF=60°，∴∠ACF=60°，

∵∠BAC=60°，

∴AB∥CF，

∵CF平面OAB，AB平面OAB，

∴CF∥平面OAB，

∵EF∩CF=F，

∴平面CEF∥平面OAB，

∵CE平面CEF，

∴CE∥平面OAB

（2）解：在△ACD中，CD= =2 ，

∴AC2+CD2=AD2，

∴AC⊥CD，

∵OA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴OA⊥CD，

∵AC∩OA=A，

∴CD⊥平面OAC，

∵E是OD的中點，

∴E到平面OAC的距離為h= CD= ，

∵S△OAC= =2，

∴四面體OACE的體積V= = ．

【解析】（1）證明平面CEF∥平面OAB，即可證明CE∥平面OAB；（2）求出E到平面OAC的距離為h= CD= ，即可求四面體OACE的體積．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．