Question

【題目】已知函數f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1

（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的極大值；

（Ⅱ）求a的范圍，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由于x=3是f（x）的極值點，則f′（3）=0求出a，進而求出f′（x）＞0得到函數的增區間，求出f′（x）＜0得到函數的減區間，即可得到函數的極大值；

（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時，恒成立，設，求得其導函數，分類討論參數a，得到函數g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范圍．

解：（Ⅰ）

∵x=3是f（x）的極值點，∴，解得a=3

當a=3時，，

當x變化時，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

f（x）的極大值為；

（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0時，恒成立，

設，則，

（ⅰ）當a≤0時，由g′（x）＜0得單減區間為（0，1），由g′（x）＞0得單增區間為（1，+∞），

故，得；

（ii）當0＜a＜1時，由g′（x）＜0得單減區間為（a，1），由g′（x）＞0得單增區間為（0，a），（1，+∞），此時，∴不合題意；

（iii）當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單增，，∴不合題意；

（iv）當a＞1時，由g′（x）＜0得單減區間為（1，a），由g′（x）＞0得單增區間為（0，1），（a，+∞），此時，∴不合題意．

綜上所述：時，f（x）≥1恒成立．