Question

【題目】如圖：橢圓與雙曲線有相同的焦點、，它們在軸右側有兩個交點、，滿足.將直線左側的橢圓部分（含， 兩點）記為曲線，直線右側的雙曲線部分（不含， 兩點）記為曲線.以為端點作一條射線，分別交于點，交于點（點在第一象限），設此時.

（1）求的方程；

（2）證明： ，并探索直線與斜率之間的關系；

（3）設直線交于點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據橢圓方程求出右焦點，根據得到、關于軸對稱，所以求出， ，所以求出雙曲線的方程；（2）設 ，得， ，由，得，即，又因為 分別在曲線和上，有，

，消去，得， （*），所以點坐標為， .所以直線的斜率，直線的斜率.所以與斜率之和為零；（3）由（2）知直線與關于軸對稱，結合橢圓的對稱性知點與點關于軸對稱，故，所以 ，利用函數單調求出的范圍。

試題解析：（1）由條件，得，根據知， 、、三點共線，

且由橢圓與雙曲線的對稱性知， 、關于軸對稱，

故所在直線為，從而得， .

所以， ，又因為為雙曲線的焦點，所以，

解得.

因此， 的方程為.

（2）由 ，得， ，

由條件，得，即，

由 分別在曲線和上，有，

，消去，得，

（*），

將代入方程（*），成立，因此（*）有一根，結合韋達定理得另一根為，因為，所以，舍去.

所以， .

從而點坐標為.

所以，直線的斜率，

由，得.

所以，直線的斜率.

因此， 與斜率之和為零.

（3）由（2）知直線與關于軸對稱，結合橢圓的對稱性知點與點關于軸對稱，故，

因此， ，

，

因為在上單調遞增，

所以的取值范圍是.