Question

某企業擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元．設該容器的建造費用為y千元．

①寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；
②求該容器的建造費用最小時的r.

Answer 1

①y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2②當3<c≤時，建造費用最小時r＝2；當c>時，建造費用最小時，r＝ .

①設容器的容積為V，
由題意知V＝πr²l＋πr³，又V＝，
∴l＝.
由于l≥2r，∴≥2r，∴0<r≤2.
所以建造費用y＝2πrl×3＋4πr²c＝2πr××3＋4πr²c
因此，y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2.
②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.由y′＝0得r＝
若0< <2，即c>時，此時0<r< 時，y′<0，<r<2時，y′>0.
∴r＝時，y取得極小值．
若 ≥2，即3<c≤時，0<r<2時，y′<0，函數單調遞減，
∴r＝2時，y取得極小值．
總之，當3<c≤時，建造費用最小時r＝2；
當c>時，建造費用最小時，r＝ .