Question

【題目】已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），． （2）存在正整數(shù)，，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于d與q的兩個(gè)等式，解方程組，即可求出。

（2）利用錯(cuò)位相減求出，再討論求出的最小值，對(duì)應(yīng)的n值即為所求的k值。

（1）解：設(shè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的公差與公比分別為，，

則，解得，

于是，，．

（2）解：由，

即，①

，②

①②得：，

從而得．

令,得,顯然、所以數(shù)列是遞減數(shù)列，

于是，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即，，，…為遞減數(shù)列，

最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)大于；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即，，，…為遞增數(shù)列，最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)大于零且小于，

那么數(shù)列的最小項(xiàng)為．

故存在正整數(shù)，使恒成立．