Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ－2sinθ.

(Ⅰ)求C的參數(shù)方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)A在圓C上，點(diǎn)B(3,0)，求AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (α為參數(shù))(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 已知極坐標(biāo)方程兩邊同乘，利用，化簡方程得直角坐標(biāo)方程，從而可求的參數(shù)方程；(Ⅱ) 利用參數(shù)方程，設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)，將中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方用三角函數(shù)表示，根據(jù)輔助角公式化簡，利用三角函數(shù)的有界性，可求中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方的最大值.

試題解析：(Ⅰ)由ρ＝4cos θ－2sin θ得ρ2＝4ρcos θ－2ρsin θ，

x2＋y2＝4x－2y，∴(x－2)2＋(y＋1)2＝5，

化為參數(shù)方程是 (α為參數(shù)).

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，A(x0，y0)．

因?yàn)辄c(diǎn)B(3,0)，且AB中點(diǎn)為P，

所以

又點(diǎn)A在圓C上，

所以x0＝2＋cos α，y0＝－1＋sin α，

∴x2＋y2＝＋＝＋＝＝≤ (其中tanφ＝5)，

∴AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值為.