【題目】對于定義域為
的函數
，如果存在區間
滿足
是
上的單調函數，且在區間上的值域也為，則稱函數為區間上的“保值函數”，為“保值區間”．根據此定義給出下列命題：①函數
是
上的“保值函數”；②若函數
是上的“保值函數”，則
；③對于函數
存在區間
，且
，使函數
為上的“保值函數”．其中所有真命題的序號為（ ）
A.②B.③C.①③D.②③
【答案】D
【解析】
①根據函數單調性定義和“保值函數”的概念判斷即可，②結合函數
的圖象可得結論，③由導數確定函數在
是單調遞增的，而方程
有兩個解
（
），構造新函數
，由零點存在定理確定
的零點
即可．
由“保值函數”定義可知
為區間
上的“保值函數”則在上是單調函數且在區間時其值域也為，那么當函數為增函數時滿足條件
在上有兩個不同的實數解
，
的函數就是“保值函數”，
命題①中
，雖滿足在
上單調但值域為
，不是，故①為假命題；
②中由
的圖象可知，函數在上單調且值域為，其為區間上的“保值函數”故②為真命題；
③中
，則由
在
成立，所以
為上的增函數，再由解得有兩個根
，，構造函數
，是減函數，
，
，由零點存在性定理知存在
，使成立，故③為真命題．綜上所有真命題的序號為②③，
故選：D．
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【題目】某網站舉行“衛生防疫”的知識競賽網上答題，共有120000人通過該網站參加了這次競賽，為了解競賽成績情況，從中抽取了100人的成績進行統計，其中成績分組區間為
，
，
，
，
，其頻率分布直方圖如圖所示，請你解答下列問題：
（1）求
的值；
（2）成績不低于90分的人就能獲得積分獎勵，求所有參賽者中獲得獎勵的人數；
（3）根據頻率分布直方圖，估計這次知識競賽成績的平均分（用組中值代替各組數據的平均值）.
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【題目】已知橢圓
的左右頂點為
，
為橢圓上異于的動點，設直線
的斜率分別為
，且
.
（1）求橢圓
的離心率；
（2）當橢圓內切于圓
時，設動直線
與橢圓相交于
兩點，
為坐標原點，若
，問：
的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】科技創新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關鍵因素，也是推動經濟實現高質量發展的重要支撐，而研發投入是科技創新的基本保障，下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發投入的數據分布圖:
其中折線圖是該公司研發投入占當年總營收的百分比，條形圖是當年研發投入的數值(單位:十億元).
(I)從2010年至2019年中隨機選取一年，求該年研發投入占當年總營收的百分比超過10%的概率；
(II)從2010年至2019年中隨機選取兩個年份，設X表示其中研發投入超過500億元的年份的個數，求X的分布列和數學期望；
(III)根據圖中的信息，結合統計學知識，判斷該公司在發展的過程中是否比較重視研發，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
，
分別是線段
，
的中點，底面
是正三角形，延長
到點
，使得
.
（1）
為線段上確定一點，當
平面
時，求
的值；
（2）當
平面
，且
時，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（a∈R且a≠0）.
（1）當a
時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性與單調區間；
（3）若y＝f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點F為橢圓
（a＞b＞0）的一個焦點，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的下頂點，橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若M、N在橢圓上但不在坐標軸上，且直線AM∥直線BN，直線AN、BM的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2＝e2﹣1（e為橢圓的離心率）.
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【題目】我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征．如函數
的圖象大致為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），在矩形
中，
，
在邊
上，
．沿
，
將
和
折起，使平面
和平面
都與平面
垂直，如圖（2）．
（1）試判斷圖（2）中直線與
的位置關系，并說明理由；
（2）求平面
和平面
所成銳角二面角的余弦值．
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