Question

（本小題滿分16分）某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中高0.5米，AB=1米， CD=2a（a＞）米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數；
（2）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

（1）（2）同解析

（1）（一）時，由平面幾何知識，得．
∴，．  ……………3分
（二） 時，，
∴………………………………5分
（2） （一）時，．∵，∴，
∴．    ①，當時，．
②，當時，．……………7分
（二）時，
，
等號成立 ．
∴時，．…………………………………………10分
A．時，∵，∴時．當，，
時，當，．……………………………12分
B．時，．當時，．
綜上，時，當時，，即MN與AB之間的距離為0米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米．
時，當時，， 即與之間的距離為米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為平方米．…16分