Question

【題目】已知函數(shù)．

（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（）求的單調(diào)區(qū)間．

（）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）分別求得和，由點(diǎn)斜式可得直線方程；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可；
（3）結(jié)合（2）得到函數(shù)f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）時(shí)，f（x）=ex[x（x+a）+a]>0，從而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．

試題解析：

（）當(dāng)時(shí)， ， ，

∴， ，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ，

即．

（）由得，

令，解得： 或，

①當(dāng)，即時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，令，得或；

令，得，

∴的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是；

③當(dāng)，即時(shí)，令，

得或；

令，得，

∴的單調(diào)增區(qū)間是和，

單調(diào)減區(qū)間是．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是．

（）由（）得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有，

且，

∵，

∴時(shí)， ， ， ，

∴時(shí)，函數(shù)存在最小值．