Question

【題目】設函數 (k為常數，e＝2.718 28…是自然對數的底數).

(1)當k≤0時，求函數f (x)的單調區間；

(2)若函數f (x)在(0，2)內存在兩個極值點，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）定義域為(0，＋∞)，求單調區間，先求導，并因式分解得，由于k≤0，所以，只有一解x=2.

(2)由(1)知，k≤0時，函數f (x)在(0，2)內單調遞減，故f (x)在(0，2)內不存在極值點；

再考慮k>0時， ，由于，只需分析g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)的零點情況。對g(x)求導分析，g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，再分0＜k≤1和k＞1討論即可求。

試題解析：

函數y＝f (x)的定義域為(0，＋∞).

由k≤0可得ex－kx＞0，

所以當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，函數y＝f (x)單調遞減，

x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，函數y＝f (x)單調遞增.

所以f (x)的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，＋∞).

(2)由(1)知，k≤0時，函數f (x)在(0，2)內單調遞減，

故f (x)在(0，2)內不存在極值點；

當k＞0時，設函數g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞).

因為g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，當0＜k≤1時，

當x∈(0，2)時，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)單調遞增.

故f (x)在(0，2)內不存在兩個極值點；

當k＞1時，得x∈(0，ln k)時，g′(x)＜0，函數y＝g(x)單調遞減.

x∈(ln k，＋∞)時，g′(x)＞0，函數y＝g(x)單調遞增.

所以函數y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k).

函數f (x)在(0，2)內存在兩個極值點當且僅當解得e＜k＜，

綜上所述，函數f (x)在(0，2)內存在兩個極值點時，k的取值范圍為.