Question

【題目】2013年1月，北京經歷了59年來霧霾天氣最多的一個月．據氣象局統計，北京市2013年1月1日至1月30日這30天里有26天出現霧霾天氣，《環境空氣質量指數(AQI)技術規定(試行)》如表1：

表1　空氣質量指數AQI分組表

AQI指數M	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	>300
級別	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ
狀況	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

表2是某氣象觀測點記錄的連續4天里AQI指數M與當天的空氣水平可見度y(km)的情況，表3是某氣象觀測點記錄的北京市2013年1月1日至1月30日的AQI指數頻數分布表．

表2　AQI指數M與當天的空氣水平可見度y(km)的情況

AQI指數M	900	700	300	100
空氣水平可見度y(km)	0.5	3.5	6.5	9.5

表3　北京市2013年1月1日至1月30日AQI指數頻數分布表

AQI指數M	[0，200)	[200，400)	[400，600)	[600，800)	[800，1000]
頻數	3	6	12	6	3

（1）設x＝，根據表2的數據，求出y關于x的線性回歸方程．

(參考公式：，．)

(2)小王在北京開了一家洗車店，經小王統計：當AQI指數低于200時，洗車店平均每天虧損約2000元；當AQI指數在200至400時，洗車店平均每天收入約4000元；當AQI指數不低于400時，洗車店平均每天收入約7000元．

①估計小王的洗車店在2013年1月份平均每天的收入；

②從AQI指數在[0，200)和[800，1000]內的這6天中抽取2天，求這2天的收入之和不低于5000元的概率．

Answer 1

【答案】（1）＝－x＋.（2）①5500元，②.

【解析】

（1）根據題中的數據及給出的公式求出和后可得回歸方程．（2）①由題意可得在1月份30天中有3天洗車店每天虧損約2000元，有6天每天收入約4000元，有21天每天收入約7000元，然后求出平均數即為所求；②根據古典概型的概率和對立事件的概率求解．

(1)因為＝＝5，＝＝5,

＝92＋72＋32＋12＝140，

所以＝＝－，

故＝5－×5＝，

所以y關于x的線性回歸方程是＝－x＋．

(2)①根據表3可知，在1月份30天中有3天洗車店每天虧損約2000元，有6天每天收入約4000元，有21天每天收入約7000元，

故1月份平均每天的收入約為×(－2000×3＋4000×6＋7000×21)＝5500(元)．

②記AQI指數在[0，200)內的3天為A1，A2，A3，AQI指數在[800，1000]內的3天為B1，B2，B3，則從[0，200)和[800，1000]內的這6天中抽取2天的所有情況有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15種，

其中滿足這2天的收入之和低于5000元的情況有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種，

故由古典概型的概率計算公式可得，這2天的收入之和低于5000元的概率為＝．

由對立事件的概率計算公式得，這2天的收入之和不低于5000元的概率為1－＝．