Question

【題目】（1）某圓錐的側面展開圖為圓心角為，面積為的扇形，求該圓錐的表面積和體積.

（2）已知直三棱柱的底面是邊長為的正三角形，且該三棱柱的外接球的表面積為，求該三棱柱的體積.

Answer 1

【答案】（1）； （2） .

【解析】

（1）設圓錐的底面半徑、母線長分別為，利用扇形的面積公式求得，利用圓錐的表面積和體積公式，即可求解；

（2）設球半徑為，上，下底面中心設為，由題意，外接球心為的中點，根據三棱柱的外接球的表面積，列出方程，求得棱柱的高，利用體積公式，即可求解.

（1）設圓錐的底面半徑、母線長分別為，

則，解得

所以圓錐的高為，得表面積是，體積是

（2）設球半徑為R，上，下底面中心設為M，N，由題意，外接球心為MN的中點，

設為O，則OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AM＝，

由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，

所以該三棱柱的體積為.