Question

【題目】對于給定的正整數k，若數列{an}滿足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P（k）數列”．
（Ⅰ）證明：等差數列{an}是“P（3）數列”；
（Ⅱ）若數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：{an}是等差數列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：設等差數列{an}首項為a1 ， 公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，
則an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3 ，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an ，
=2×3an ，
∴等差數列{an}是“P（3）數列”；
（Ⅱ）證明：由數列{an}是“P（2）數列”則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， ①
數列{an}是“P（3）數列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， ②
由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1 ， ③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1 ， ④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1 ，
整理得：2an=an﹣1+an+1 ，
∴數列{an}是等差數列．
【解析】（Ⅰ）由題意可知根據等差數列的性質，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an ， 根據“P（k）數列”的定義，可得數列{an}是“P（3）數列”；
（Ⅱ）由“P（k）數列”的定義，則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， 變形整理即可求得2an=an﹣1+an+1 ， 即可證明數列{an}是等差數列．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和等差關系的確定的相關知識點，需要掌握通項公式：或；如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列才能正確解答此題．