Question

【題目】已知橢圓C： 的兩個焦點和短軸的兩個頂點構成的四邊形是一個正方形，且其周長為 .
（I）求橢圓C的方程；
（II）設過點B（0，m）（m>0）的直線 與橢圓C相交于E，F兩點，點B關于原點的對稱點為D，若點D總在以線段EF為直徑的圓內，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，得： 又因為
解得 ，所以橢圓C的方程為 .
（II）當直線 的斜率不存在時，由題意知 的方程為x=0，
此時E，F為橢圓的上下頂點，且 ，
因為點 總在以線段 為直徑的圓內，且 ，
所以 ，故點B在橢圓內.
當直線 的斜率存在時，設 的方程為 .
由方程組 得 ，
因為點B在橢圓內，
所以直線 與橢圓C有兩個公共點，即 .
設 ，則 .
設EF的中點 ，則 ，
所以 .所以 ，
，
因為點D總在以線段EF為直徑的圓內，所以 對于 恒成立.
所以 .
化簡，得 ，整理，得 ，
而 （當且僅當k=0時等號成立）所以 ，
由m>0，得 .綜上，m的取值范圍是 .
【解析】(1)由條件列出關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓的方程;
(2)先討論直線的存在時,由點B關于原點的對稱點為D總在以線段EF為直徑的圓內,求出m的范圍;再討論當直線斜率存在時,設出直線的方程,代入到橢圓方程中,消去y得到關于x的一元二次方程,由韋達定理求出EF的中點坐標,當點D在以EF為直徑的圓內時,由圓的性質得到關于m與k的不等式,求m的范圍.
【考點精析】通過靈活運用點與圓的位置關系和橢圓的標準方程，掌握點與圓的位置關系有三種：若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．