Question

【題目】已知函數 ．
（Ⅰ）若 為 的極值點，求 的值；
（Ⅱ）若 在 單調遞增，求 的取值范圍．
（Ⅲ）當 時，方程 有實數根，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，求導， ，
由 為 的極值點，則 ，即 ，解得： ，
當 時， ，
從而 為函數的極值點，成立，
∴ 的值為0；
（Ⅱ） 在 單調遞增，則 ，
則 在區間 上恒成立，
①當 時， 在區間 上恒成立，
∴ 在區間 上單調遞增，故 符合題意；
②當 時，由 的定義域可知： ，
若 ，則不滿足條件 在區間 上恒成立，
則 ，
則 ，對區間 上恒成立，
令 ，其對稱軸為 ，
由 ，則 ，
從而 在區間 上恒成立，
只需要 即可，
由 ，解得： ，
由 ，則 ，
綜上所述， 的取值范圍為 ；
（Ⅲ）當 時，方程 ，轉化成 ，
即 ，令 ，則 在 上有解，
令 ， ，求導 ，
當 時， ，故 在 上單調遞增；當 時， ，故 在 上單調遞減；
在 上的最大值為 ，此時 ， ，
當 時，方程 有實數根，則 的最大值為0．
【解析】(1)根據題意首先求導代入數值求出 f ′ ( 2 ) = 0進而求出a的值。(2)對原函數求導令其大于等于零恒成立，分類討論當 a = 0 時恒成立，當 a ≠ 0 時由函數的定義域可知a>0,根據二次函數的單調性可知g ( 3 ) ≥ 0 恒成立即可求得a的取值范圍。(3)根據題意由整體思想轉化原有的代數式并對其求導，對t分情況討論，利用導函數的性質研究原函數的單調性以及最大值的關系即可求出b的最大值。