Question

【題目】已知函數 （ ）在同一半周期內的圖象過點 ， ， ，其中 為坐標原點， 為函數 圖象的最高點， 為函數 的圖象與 軸的正半軸的交點， 為等腰直角三角形.

（1）求 的值；
（2）將 繞原點 按逆時針方向旋轉角 ，得到 ，若點 恰好落在曲線 （ ）上（如圖所示），試判斷點 是否也落在曲線 （ ）上，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數 （ ）的最小正周期 ，所以函數 的半周期為 ，
所以 ，即有 坐標為 ，
又因為 為函數 圖象的最高點，所以點 的坐標為 .
又因為 為等腰直角三角形，所以 .
（2）解：點 不落在曲線 （ ）上，理由如下：
由（1）知， ，
所以點 ， 的坐標分別為 ， .
因為點 在曲線 （ ）上，所以 ，即 ，又 ，所以 .
又 .所以點 不落在曲線 （ ）上.
【解析】（1）根據函數f（x）的解析式可得出其最小正周期為8，即半周期為4，故Q點的坐標為（4,0），P為最高點，解等腰直角三角形后可得P點坐標為（2,2）；（2）由（1）知，OP，OQ的大小，設出P ′ ， Q ′ 的坐標，根據點 P ′ 在曲線上得出等式，由三角恒等變換可sin2α，將 Q ′的坐標代入曲線方程，明顯不滿足.