Question

已知橢圓的兩個焦點，，過且與坐標軸不平行的直線與橢圓交于兩點，如果的周長等于8。
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標及定值;若不存在，說明理由。

Answer 1

（1) ；（2）   定值

試題分析：（I）由題意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為。
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）
由消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達定理得x₁+x₂=，x₁x₂=
則=(m-x₁，-y₁)，=(m-x₂，-y₂)
∴·=(m-x₁)(m-x₂)+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
==
要使上式為定值須=4，解得m=，∴為定值
當直線l的斜率不存在時P(1，)，Q(1，-)由E(，0)可得
=(，-)，
=(，)∴=
綜上所述當時，為定值。
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）推理直線斜率的兩種情況，易于出現遺漏現象。