Question

【題目】中， 是的中點， ，其周長為，若點在線段上，且．

（1）建立合適的平面直角坐標系，求點的軌跡的方程；

（2）若是射線上不同兩點， ，過點的直線與交于，直線與交于另一點．證明： 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得，以為坐標原點，以的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系， 得的軌跡方程為，再將相應的點代入即可得到點的軌跡的方程；（2）由（1）中的軌跡方程得到軸，從而得到，即可證明是等腰三角形.

試題解析：解法一：（1）以為坐標原點，以的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系.

依題意得.

由，得，

因為故，

所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為6的橢圓（除去長軸端點），

所以的軌跡方程為.

設，依題意，

所以，即，

代入的軌跡方程得， ，

所以點的軌跡的方程為.

（2）設.

由題意得直線不與坐標軸平行，

因為，所以直線為，

與聯立得，

，

由韋達定理，

同理，

所以或，

當時， 軸，

當時，由，得，

同理， 軸.

因此，故是等腰三角形.

解法二：

（1）以為坐標原點，以的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系.

依題意得.

在軸上取，

因為點在線段上，且，

所以，

則，

故的軌跡是以為焦點，長軸長為2的橢圓（除去長軸端點），

所以點的軌跡的方程為.

（2）設， ，

由題意得，直線斜率不為0，且，

故設直線的方程為： ，其中，

與橢圓方程聯立得， ，

由韋達定理可知， ，

其中，

因為滿足橢圓方程，故有，

所以.

設直線的方程為： ，其中，

同理，

故

，

所以，即軸，

因此，故是等腰三角形.