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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)x，y∈R，

，

為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若

+（y+2）

，

+（y-2）

，且|

|+|

|=8
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB，滿足（1）直線AB過點(diǎn)（0，3），（2）若

，則OAPB為矩形，試求AB方程．

（Ⅰ）令M（x，y），F(xiàn)₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）
則

F1M

，

F2M

即|

|+|

|=|

F1M

|+|

F2M

|
即|

F1M

|+|

F2M

|=8
又∵|

F1F2

|=4=2C
∴c=2，a=4，b²=12（3分）
所求軌跡方程為

=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設(shè)AB方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

y=kx+3

⇒（3k²+4）x²+18kx-21=0（8分）
x₁+x₂=-

18k

3k2+4

，x₁•x₂=-

-21

3k2+4

y₁•y₂=（kx₁+3）•（kx₂+3）=k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=

36-48k2

3k2+4

∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB⇒

•

=0（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得k=±

所求直線方程為y=±

x+3（12分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x²-y²=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　　）

A．2x²-2y²-2x-1=0	B．x²+y²=1
C．2x²+2y²-y=0	D．2x²-2y²-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4

y的準(zhǔn)線過雙曲線

-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：

=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C₁：

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，離心率e=

，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點(diǎn)，如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三角形ABC的兩頂點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2），第三頂點(diǎn)C在拋物線y=x²+1上，求三角形ABC的重心G的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

[理]如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

=1的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若AB∥x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是______．
[文]點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C₁：

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過C₁的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C₂的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C₁上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C₂的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是其左右焦點(diǎn)，其離心率是

，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF₁F₂的周長是2（

）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對(duì)m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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