Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，

3

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點(diǎn)，如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．

Answer 1

（1）由橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a2=

4

3

b2．
又b=

3

，∴a²=4，則a=2，c=1．
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
拋物線C₂的焦點(diǎn)為（1，0），∴m=1，則拋物線方程為：y²=4x；
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），
代入拋物線C₂：y²=4x，化簡得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[( 2k2+4 k2 )2-4]

=6，解得：k=±

2

．
故直線l的斜率為：±

2

．