Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂是其左右焦點，其離心率是

6

3

，P是橢圓上一點，△PF₁F₂的周長是2（

3

+

2

）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點的個數．

Answer 1

（1）設橢圓的焦距是2c，據題意則有

c a = 6 3 2a+2c=2( 3 + 2 )

，
∴a=

3

，c=

2

，
∴b=1，
故橢圓的方程是

x2

3

+y2=1．…5分
（2）聯立的方程組

y=2x+m x2 3 +y2=1

，整理得：13x²+12mx+3m²-3=0
其判別式△=144m²-52（3m²-3）=156-12m²．…8分
當△＜0即m＜-

13

或m＞

13

時，直線與橢圓無公共點；
當△=0即m=±

13

時，直線與橢圓恰有一個公共點；
當△＞0即-

13

＜m＜

13

時，直線與橢圓恰有兩個不同公共點．…11分．