Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；

（2）當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數的取值范圍；

（3）若的值域為區間，是否存在常數，使區間的長度為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（注：區間的長度為）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 或.

【解析】試題分析：(1)根據題意的對稱軸是，得到在區間遞增，列出不等式組，即可求解實數的范圍；

（2）只需函數的值域是函數的值域的子集，通過討論，的情況，得到函數的單調性，從而確定實數的取值范圍；

（3）通過討論的范圍，結合函數的單調性以及的值，得到關于的方程，即可求解的值.

試題解析：

(1)根據題意得： 的對稱軸是，故在區間遞增，

因為函數在區間上存在零點，故有，即，

故所求實數的范圍是；

（2）若對任意的，總存在，使成立，

只需函數的值域是函數的值域的子集，

時， 的值域是，

下面求， 的值域，

令，則， ，

①時， 是常數，不合題意，舍去；

②時， 的值域是，

要使 ，只需，計算得出；

③時， 的值域是，

要使 ，只需，計算得出；

綜上， 的范圍是.

（3）根據題意得，計算得出，

①時，在區間上， 最大， 最小，

，

計算得出： 或（舍去）；

②時，在區間上， 最大， 最小，

，計算得出： ；

③時，在區間上， 最大， 最小，

，

計算得出： 或，故此時不存在常數滿足題意，

綜上，存在常數滿足題意， 或.