Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

（Ⅰ）證明：點(diǎn)在直線上；

（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；

(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出過點(diǎn)的直線方程代入拋物線方程消去，設(shè)與 的交點(diǎn)， ，根據(jù)韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線的直線方程，求出直線在軸上的截距進(jìn)而原式得證；（Ⅱ）首先表示出結(jié)果為求得，進(jìn)而求得的值，推知的斜率，則方程可知，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離進(jìn)而求得和圓的半徑，則圓的方程可得．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)， ， ，

的方程為.

將代入得到：

由韋達(dá)定理知道：

所以直線BD 的方程為： ，

即

令得到： =1

所以點(diǎn)F（1,0）在直線BD上

（Ⅱ）由①知，

因?yàn)? ，

故， 解得

所以的方程為

又由①知 ，故直線BD的斜率，

因而直線BD的方程為

因?yàn)镵F為的平分線，故可設(shè)圓心，

到及BD的距離分別為.

由得，或（舍去），

故圓M的半徑.

所以圓M的方程為.