Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為曲線上任意一點，且到定點的距離比到軸的距離多1．

（1）求曲線的方程；

（2）點為曲線上一點，過點分別作傾斜角互補的直線， 與曲線分別交于， 兩點，過點且與垂直的直線與曲線交于， 兩點，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用到定點的距離和到定直線的距離的關系，列出方程即為曲線方程；（2）先考慮特殊情況，當的橫坐標小于零時，求得其縱坐標為不合題意.當的橫坐標不小于零時，曲線的方程可化為，分別設出的坐標，求出斜率利用兩個斜率相等，可求得直線的方程，利用拋物線的弦長公式可求得的縱坐標.

試題解析：（1）設，則，此即為的方程，

（2）當的橫坐標小于零時， ，即，不合題意，

當的橫坐標不小于零時， ，設， ， 則.

直線的傾斜角互補， 即，化簡得，

.

故直線的方程為，即，代入得， ，

又，即，解得

故點的坐標為或.