Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1． （Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當a= 時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2， ，

∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=﹣2

（Ⅱ） =

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故當 時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，2）；單調遞減區間為（0，1），（2，+∞）．

（Ⅲ）當 時，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（1，2）上為增函數，

∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=

若對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值 （*）

又 ，x∈[0，1]

①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數， 與（*）矛盾

②當0≤b≤1時， ，由 及0≤b≤1得，

③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數， ，

此時b＞1

綜上，b的取值范圍是

【解析】確定函數f（x）的定義域，并求導函數（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）求導函數，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區間；令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區間；（Ⅲ）當 時，求得函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）= ；對于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出 ，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．