Question

【題目】已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 ，若以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos2θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．
（Ⅰ）當 時，求直線l的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交A，B兩點．求證： 是定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 時，直線l的參數方程為 （t為參數）．
消去參數t，得 ．
∴直線l的普通方程為 ．
（Ⅱ）將直線方程消去參數t，得直線l的普通方程為y=（x﹣1）tanα．
又曲線C為：ρcos2θ+4cosθ=ρ
可化為4cosθ=ρsin2θ，
即ρ2sin2θ=4ρcosθ．
將 代入ρ2sin2θ=4ρcosθ，
得y2=4x，帶入y=（x﹣1）tanα．
得tan2αx2﹣2（tan2α+2）x+tan2α=0，
則 ．注意到y1 ， y2的符號相反，
可知y1y2=﹣4．
從而有 （定值）
【解析】（Ⅰ）將 帶入計算，消去t可得普通方程．（Ⅱ）將曲線C化為普通方程，把直線l的參數方程帶入曲線C的普通方程，利用韋達定理求解即可．