Question

【題目】關于函數f（x）=cosxsin2x，下列說法中正確的是
①y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱；②y=f（x）的圖象關于直線x= 對稱
③y=f（x）的最大值是 ； ④f（x）即是奇函數，又是周期函數．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱，∴①正確；
②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關于x= 對稱，故②正確；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，則y=g（t）=2t﹣2t3 ， t∈[﹣1，1]，
則y′=2﹣6t2 ， 令y′＞0解得 ，
故y=2t﹣2t3 ， 在[- , ]上遞增，在[﹣1，- ]和[ ,1]上遞減，又g（﹣1）=0，g（ ）= ，故函數的最大值為 ，∴③錯誤；
④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數的周期，∴函數即是奇函數，又是周期函數
， ∴④正確．
綜上知，說法中正確的是①②④．
所以答案是：①②④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．