Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)為，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）圓是以為直徑的圓，直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)，且滿足時(shí)，求的面積的取值范圍．

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以是線段的中點(diǎn)，所以是的中位線，

又所以，所以，（2分）

又點(diǎn)在橢圓上，所以 ①，

又 ②，①②聯(lián)立解得，，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）

（2）因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即，

聯(lián)立，消去，可得．（6分）

設(shè)，，因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，所以，

即，即，故．

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，

所以，（8分）

又，所以，

因?yàn)?/span>，所以，解得，

所以．（10分）

設(shè)，則，，

顯然關(guān)于的函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，即．

故的面積的取值范圍為．（12分）