Question

【題目】已知n為正整數，數列{an}滿足an＞0， ，設數列{bn}滿足
（1）求證：數列 為等比數列；
（2）若數列{bn}是等差數列，求實數t的值；
（3）若數列{bn}是等差數列，前n項和為Sn ， 對任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}滿足an＞0， ，

∴ =4 ，∴ =2 ，

∴數列 為等比數列，其首項為a1，公比為2

（2）解：由（1）可得： =a12n﹣1，

an= ， = ．

∵數列{bn}是等差數列，∴2b2=b1+b3，

∴ = + ，

解得t=4或12．

t=4時，bn= = ，是關于n的一次函數，因此數列{bn}是等差數列．

t=12時，bn= ，bn+1﹣bn= ，不是關于n的一次函數，

因此數列{bn}不是等差數列．

綜上可得t=4

（3）解：由（2）得bn= ，

對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，

化簡可得m= ，

當a1=2k，k∈N*，m= =nk2，對任意的n∈N*，符合題意；/span>

當a1=2k﹣1，k∈N*，當n=1時，m= = =k2﹣k+ ，

對任意的n∈N*，不符合題意．

綜上可得，當a1=2k，k∈N*，對任意的n∈N*，均存在m∈N*，

使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立

【解析】（1）由題意整理可得， =2 ，再由等比數列的定義即可得證；（2）運用等比數列的通項公式和等差數列中項的性質，可得2b2=b1+b3 ， 解方程可得t，對t的值，檢驗即可得到所求值；（3）由（2）可得bn= ，對任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，討論a1為偶數和奇數，化簡整理，即可得到所求值．
【考點精析】利用等差數列的性質和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．