Question

(12分)已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當m為何值時，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值。

Answer 1

.解 （1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。
（2）設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，由OM⊥ON得x₁x₂+ y₁y₂=0。
將直線方程x+2y-4=0與曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0聯立并消去y得
5x²-8x+4m-16=0，由韋達定理得x₁+x₂=①,x₁x₂=②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(4-x₁)· (4-x₂)= x₁x₂-( x₁+x₂)+4=0。將①、②代入得m=.

略