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【題目】如圖,已知三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,側棱與下底面相鄰的兩邊AB,AC均成45度的角.

(1)求點到平面B1BCC1的距離.

(2)試問,當為多長時,點到平面與到平面的距離相等.

【答案】(1) (2)

【解析】

設BC,B1C1中點為D,D1.

(1) 因為側棱與下底面相鄰的兩邊AB,AC均成45度的角，所以點在底面的投影O在∠BAC角平分線AD上，由三垂線定理得側棱垂直BC,所以過點作DD1垂線于E點，則為點到平面B1BCC1的距離.

由三余弦定理得cos∠BACcos300=cos450, cos∠BAC=,

從而點到平面B1BCC1的距離為A1D1sin∠BAC=,

(2)因為點到平面與到平面的距離相等，所以A1A=A1D1= .

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【題目】如今我們的互聯網生活日益豐富，除了可以很方便地網購，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一調查機構針對該市市場占有率最高的甲、乙兩家網絡外賣企業（以下簡稱外賣甲，外賣乙）的經營情況進行了調查，調查結果如表：

	1日	2日	3日	4日	5日
外賣甲日接單（百單）	5	2	9	8	11
外賣乙日接單（百單）	2.2	2.3	10	5	15

（1）據統計表明，與之間具有線性相關關系.

（ⅰ）請用相關系數加以說明：（若，則可認為與有較強的線性相關關系（值精確到0.001））

（ⅱ）經計算求得與之間的回歸方程為.假定每單外賣業務企業平均能獲純利潤3元，試預測當外賣乙日接單量不低于2500單時，外賣甲所獲取的日純利潤的大致范圍：（值精確到0.01）

（2）試根據表格中這五天的日接單量情況，從平均值和方差角度說明這兩家外賣企業的經營狀況.

相關公式：相關系數，

參考數據：

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【題目】如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直. ,，.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）線段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】平面內有12個點，其中任意三點不共線，每兩點連一條線段（或邊）。這些線段用紅、藍兩色染色，每條線段恰染一色，其中，從某點出發的紅色線段有奇數條，而從其余11個點出發的紅色線段數互不相同。求以已知點為頂點、各邊均為紅色的三角形個數及兩邊為紅色、另一邊為藍色的三角形個數。

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【題目】已知函數的圖象在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意，不等式恒成立，求正整數t的最大值.

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【題目】空氣質量指數(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數，空氣質量按照AQI大小分為六級：0～50為優；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；>300為嚴重污染.一環保人士記錄了某地2020年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示.

（1）利用該樣本估計該地本月空氣質量優良(AQI≤100)的天數；(按這個月總共有30天計算)

（2）若從樣本中的空氣質量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標，求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率.

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【題目】如圖是的導函數的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（）.

A.在上是增函數；

B.當時，取得極小值；

C.在上是增函數、在上是減函數；

D.當時，取得極大值.

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【題目】某企業有，兩個分廠生產某種產品，規定該產品的某項質量指標值不低于130的為優質品．分別從，兩廠中各隨機抽取100件產品統計其質量指標值，得到如圖頻率分布直方圖：

（1）根據頻率分布直方圖，分別求出分廠的質量指標值的眾數和中位數的估計值；

（2）填寫列聯表，并根據列聯表判斷是否有的把握認為這兩個分廠的產品質量有差異？

	優質品	非優質品	合計


合計

（3）（i）從分廠所抽取的100件產品中，利用分層抽樣的方法抽取10件產品，再從這10件產品中隨機抽取2件，已知抽到一件產品是優質品的條件下，求抽取的兩件產品都是優質品的概率；

（ii）將頻率視為概率，從分廠中隨機抽取10件該產品，記抽到優質品的件數為，求的數學期望．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

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其中正確結論的編號為（）

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④

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