Question

【題目】平面內(nèi)有12個點，其中任意三點不共線，每兩點連一條線段（或邊）。這些線段用紅、藍兩色染色，每條線段恰染一色，其中，從某點出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條，而從其余11個點出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點為頂點、各邊均為紅色的三角形個數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍色的三角形個數(shù)。

Answer 1

【答案】40，55

【解析】

解法1 注意到從每點引出的紅色線段只可能為0,1，…，11中的一種取值，而0、11不可能同時出現(xiàn)，從而，有兩類可能情形：

（1）0,1，…，10；

（2）1,2，…，11.

若為情形（2），當點引出條紅色線段時，不是整數(shù).從而，只可能為情形（1）.

于是，除點外，另外11個點分別連出0,1，…，10條紅色線段.

此時，不妨設(shè)點連出條紅色線段（簡稱紅邊），連出條紅邊.則點與除了點外的其余10個點均連了紅邊；點與除了點外的其余9個點均連了紅邊.

依此類推，點與除點外的8個點連了紅邊；點與除點外的7個點連了紅邊；點與除點外的6個點連了紅邊.從而，點均為點連有紅邊.

由于點只連了5條紅邊（與已連了紅邊），則點不與點連紅邊.

同理，點均不與點連紅邊.

故點處連了5條紅邊.

令，.

則中任意兩點無紅邊相連，而中任意兩點均有紅邊相連，且中任一點恰與中個點連有紅邊.因此，以為頂點且三邊均為紅邊的三角形不存在，以為頂點且三邊均為紅邊的三角形有個，以中任意三點為頂點且三邊均為紅邊的三角形有個.故三邊均為紅邊的三角形個數(shù)為

.

兩邊為紅邊、另一邊為藍邊的三角形分為兩類：

（ⅰ）三角形的一個頂點，另兩個頂點屬于，且從中一點向中兩點引出的兩邊是一紅、一藍（中兩點連線皆為紅邊）.

這類三角形的個數(shù)為.

（ⅱ）三角形的一個頂點為（為或），另兩個頂點屬于，且從點向中兩點所引的均為紅邊（中兩點連線均為藍邊）.

這類三角形的個數(shù)為.

故兩邊為紅色、另一邊為藍色的三角形有35+20=55個.

因此，所求個數(shù)分別為40、55.

解法2 同解法1知三邊均為紅色的三角形的個數(shù)為40.

對任何，以為一個頂點且與相連的兩邊均為紅邊的三角形的個數(shù)為，以為一個頂點且與相連的兩邊皆為紅邊的三角形的個數(shù)為，將所有這些三角形的個數(shù)加起來得.

在以上的和中，每一個具有兩條紅邊、一條藍邊的三角形只被計算一次，每個三邊均為紅邊的三角形均被計算三次，

從而，兩邊為紅色、一邊為藍色的三角形個數(shù)為175-3×40=55，故所求個數(shù)分別為40、55.