Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣2a|+a2﹣4a（a∈R）． （Ⅰ）當a=﹣1時，求f（x）在[﹣3，0]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有3個不相等的實根x1 ， x2 ， x3 ， 求 + + 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a=﹣1，

∴f（x）=x|x+2|+5= ，

x∈[﹣2，0]時，4≤f（x）≤5，

x∈[﹣3，﹣2]時，2≤f（x）≤5，

∴f（x）min=f（﹣3）=2，f（x）max=f（0）=5；

（Ⅱ）∵f（x）= ，

①若a＞0，∵方程f（x）=0有3個不相等的實根，

故x＜2a時，方程f（x）=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2個不相等的實根，

x≥2a時，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1個不相等的實根，

∴ ，解得：2＜a＜4，

不妨設x1＜x2＜x3，則x1+x2=2a，x1x2=﹣a2+4a，x3=a+2 ，

∴ + + = + =﹣ ＞ ，

∴ + + 的范圍是（ ，+∞），

②若a＜0，當x＞2a時，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0的判別式小于0，

不符合題意；

③a=0時，顯然不和題意，

故 + + 的范圍是（ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）求出f（x）的分段函數的解析式，從而求出函數的最大值和最小值即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到 + + 的表達式，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．