Question

【題目】已知函數f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的圖象經過點（8，2）和（1，﹣1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]2=3f（x），求實數x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值時x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，b+loga8=2，b+loga1=﹣1，（a＞0且a≠1），

解得a=2，b=﹣1；

故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；

（2）解：[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，

∴log2x﹣1=0或3，

∴x=2或16；

（3）解：g（x）=2f（x+1）﹣f（x）

=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x+ +2）﹣1≥1，

當且僅當x= ，即x=1時，等號成立）．

于是，當x=1時，g（x）取得最小值1．

【解析】（1）由已知得b+loga8=2，b+loga1=﹣1，從而求解析式即可；（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，即可求實數x的值；（3）化簡g（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x+ +2）﹣1，從而利用基本不等式求最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解對數函數的單調性與特殊點的相關知識，掌握過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數．