Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+x2+（a﹣1）x﹣a，（a∈R），當(dāng)x≥1時，f（x）≥0恒成立．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若正實數(shù)x1、x2（x1≠x2）滿足f（x1）+f（x2）=0，證明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：

當(dāng)a≥﹣3時， ，f（1）=0．

∴當(dāng)x≥1時，f（x）≥0成立．

當(dāng)a＜﹣3時，存在大于1的實數(shù)m，使得f'（m）=0

∴當(dāng)1＜x＜m時，f'（x）＜0成立．

∴f（x）在區(qū)間（1，m）上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)1＜x＜m時，f（x）＜f（1）=0；

∴a＜﹣3不可能成立．

所以a≥﹣3．

（2）解：不妨設(shè)x1＜x2

∵正實數(shù)x1、x2滿足f（x1）+f（x2）=0，

有（1）可知，0＜x1＜1＜x2；

又∵f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x1+x2＞2x2＞2﹣x1f（x2）＞f（2﹣x1）

又∵f（x1）+f（x2）=0f（x2）=﹣f（x1）

所以只要證明：﹣f（x1）＞f（2﹣x1）f（x1）+f（2﹣x1）＜0

設(shè)g（x）=f（x）+f（2﹣x）則g（x）=2[lnx+ln（2﹣x）+x2﹣2x+1]，

可得

∴當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0成立

∴g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)增函數(shù)．

又∵g（1）=0

∴當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＜0成立，即f（x）+f（2﹣x）＜0．

所以不等式f（x1）+f（2﹣x1）＜0成立．

所以x1+x2＞2．

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng)a≥﹣3時，當(dāng)a＜﹣3時，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解a≥﹣3．（2）不妨設(shè)x1＜x2推出f（x1）+f（x2）=0f（x2）=﹣f（x1），只要證明：﹣f（x1）＞f（2﹣x1）f（x1）+f（2﹣x1）＜0，設(shè)g（x）=f（x）+f（2﹣x）求出 ，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化證明即可．