Question

【題目】已知函數f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣ +ax．
（1）函數h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈[﹣1，1]，求函數h（x）的最小值；
（2）對任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=（x﹣a）ex+a．h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．

①當a﹣1≤﹣1即a≤0時，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）的最小值為 ．

②當﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2時，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）為減函數，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）為增函數．

∴h（x）的最小值為h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

③當a﹣1≥1即a≥2時，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）遞減，h（x）的最小值為h（1）=（1﹣a）e+a．

綜上所述，當a≤0時h（x）的最小值為 ，當0＜a＜2時h（x）的最小值為﹣ea﹣1+a，當a≥2時，h（x）最小值為（1﹣a）e+a．

（2）設 ，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

①當a≥0時，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）遞增，F（x）的最小值為F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．

②當a≤﹣1時，令 ，解得： ，此時

∴ ．∴F'（x）在[2，+∞）上遞減．∵F'（x）的最大值為F'

a+1≤0，∴F（x）遞減．∴F（x）的最大值為F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．

③當﹣1＜a＜0時，此時 ，當 時，F'（x）＞0，F'（x）遞增，當 時，F'（x）＜0，F'（x）遞減．

∴ =﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

∴在 上F'（x）＞0，F（x）遞增，

又∵F（2）=0，所以在 上F（x）＞0，顯然不合題意．

綜上所述：a≤﹣1．

【解析】（I）求出導數得到極值點，通過①當a≤0時，②當0＜a＜2時，③當a≥2時分別求解函數的單調性以及函數的最值即可．（II）設 ，求出導數F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通過①當a≥0時，②當a≤﹣1時，③當﹣1＜a＜0時，分別求解函數的單調性已經函數的最值，推出a≤﹣1．