Question

（2013•長春一模）定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x，則函數f（x）在[0，2013]上的零點個數是

604

．

Answer 1

分析：根據y=x² 與 y=2^x 的函數曲線在區間（0，4]有兩個交點，在區間（-1，0]區間有一個交點，f（x）=x²-2^x=16無根，可得x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點，且x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點，進而分析出函數的周期性，分段討論后，綜合討論結果可得答案．

解答：解：y=x² 與 y=2^x 的函數曲線在區間（0，4]有兩個交點，在區間（-1，0]區間有一個交點，
但當x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x=16無根
即當x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點
由f（x）+f（x+5）=16，
即當x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數，
在x∈[0，2013]，分為三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]
在x∈[0，4]函數有兩個零點，
在x∈（4，2004]有200個完整周期，即有600個零點，
在x∈（2004，2013]共有兩個零點，
綜上函數f（x）在[0，2013]上的零點個數是604
故答案為：604

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的零點，其中熟練掌握對數函數和二次函數的圖象和性質，分析出一個周期上函數的零點個數是解答的關鍵．