Question

（2013•長春一模）已知函數f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，求實數a的值；
（2）當a＞0時，求函數f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求實數a的值，只須求出切線斜率的值列出關于a的等式即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；
（2）求出函數的導數，討論a的取值范圍，再根據導數求函數的單調性，從而可求出函數的最小值．

解答：解：由題意得：f'（x）=（e^x）'•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-

2

a

)(x+2)；（3分）
（1）由曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，
結合導數的幾何意義得f'（2）=0，
即a•e2•(2-

2

a

)(2+2)=4ae2•

2a-2

a

=0，
解得a=1；（6分）
（2）設|sinx|=t（0≤t≤1），
則只需求當a＞0時，函數y=f（t）（0≤t≤1）的最小值．
令f'（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2，而a＞0，即

2

a

＞-2．
從而函數f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上單調遞增，在(-2，

2

a

)上單調遞減．
當

2

a

≥1時，即0＜a≤2時，函數f（x）在[0，1]上為減函數，y_min=f（1）=（a-4）e；
當0＜

2

a

＜1，即 a＞2時，函數f（x）的極小值，
即為其在區間[0，1]上的最小值，ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
綜上可知，當0＜a≤2時，函數f（|sinx|）的最小值為（a-4）e；
當a＞2時，函數f（|sinx|）的最小值為-2e

2

a

．（12分）

點評：本小題主要考查函數與導數的知識，具體涉及到導數的幾何意義，用導數來研究函數的單調性、極值等，考查學生解決問題的綜合能力．