Question

（2013•長春一模）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

，過M（0，-1）的直線l交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若直線l交x軸于N，

NA

=-

7

5

NB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

，可得

|c+ 6 |

2

=2

3

，利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，從而可得a=2

2

，b=

a2-c2

=

2

，故可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），利用

NA

=-

7

5

NB

，可得(x1-x0，y1)=-

7

5

(x₂-x₀，y₂），設直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．與橢圓方程聯立

y=kx-1 x2 8 + y2 2 =1

，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，由此即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設右焦點為（c，0）（c＞0）
∵右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

，
∴

|c+ 6 |

2

=2

3

∴c=

6

∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

∴a=2

2

∴b=

a2-c2

=

2

∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵

NA

=-

7

5

NB

，
∴(x1-x0，y1)=-

7

5

(x₂-x₀，y₂）
∴y1=-

7

5

y2①
易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立
于是設直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．
與橢圓方程聯立

y=kx-1 x2 8 + y2 2 =1

，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴y1+y2=-

2

4k2+1

③y1y2=

1-8k2

4k2+1

④
由①③可得y2=

5

4k2+1

，y1=-

7

4k2+1

代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此時②為5y²+2y-7=0，判別式大于0
∴直線l的方程為y=±x-1

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行解題．