Question

【題目】已知奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有定義，在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0，又知函數(shù)g（θ）=sin2θ+mcosθ﹣2m， ，集合M={m|恒有g(shù)（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

Answer 1

【答案】解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，
又由f（1）=0得f（﹣1）=﹣f（1）=0
∴滿足 的條件是
即 ，即sin2θ+mcosθ﹣2m＜﹣1，
也即﹣cos2θ+mcosθ﹣2m+2＜0．
令t=cosθ，則t∈[0，1]，又設(shè)δ（t）=﹣t2+mt﹣2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必須使δ（t）在[0，1]內(nèi)的最大值小于零
1°當(dāng) ＜0即m＜0時，δ（t）max=δ（0）=﹣2m+2，解不等式組 知m∈
2°當(dāng)0≤ ≤1即0≤m≤2時，δ（t）max= ，
由 ＜0，解得 ，故有
當(dāng) ＞1即m＞2時，δ（t）max=﹣m+1，解不等式組 得m＞2
綜上：
【解析】利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性相同得到f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，f（﹣1）=0，將集合N中的0用f（﹣1）代替，利用f（x）的單調(diào)性將f脫去，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將正弦用余弦表示，通過換元轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，通過轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，通過對對稱軸的討論求出最值．