Question

【題目】函數g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在區間（﹣∞， ）內單調遞減，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】﹣1≤a≤0
【解析】解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）遞減， 則g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0
①a=0時，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的減區間是（﹣∞，0），
∴ ≤0，才能g（x）在（﹣∞， ）遞減，解得a=0
②a＞0，g′（x）是一個開口向上的拋物線，
要使g′（x）在（﹣∞， ）上小于等于0 解得：a無解
③a＜0，g′（x）是一個開口向下的拋物線，
設g′（x）與x軸的左右兩交點為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）
由韋達定理，知x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣1，
解得：x1=﹣ ，
則在A左邊和B右邊的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞， ）遞減，
即g′（x）在（﹣∞， ）上小于等于0，
∴x1≥ ，解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，
∴a的取值范圍是﹣1≤a≤0．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．