Question

【題目】已知直線l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R） （Ⅰ）證明直線l經過定點并求此點的坐標；
（Ⅱ）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：直線l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），化為：k（x+2）﹣y+1=0，令 ，解得x=﹣2，y=1． ∴直線l經過定點（﹣2，1）．
（Ⅱ）由直線l不經過第四象限，y=kx+2k+1．
則k≥0，
（Ⅲ）直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，
由直線l的方程kx﹣y+1+2k=0可得與坐標軸的交點A ，B（0，1+2k）， ，k≠0，解得：k＞0．
∴S= ×|1+2k|= = ≥ =4，當且僅當k= 時取等號．
S的最小值為4，及此時直線l的方程為：x﹣2y+4=0
【解析】（I）直線l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），化為：k（x+2）﹣y+1=0，令 ，解出即可得出．（Ⅱ）由直線l不經過第四象限，y=kx+2k+1．即可得出．（Ⅲ）直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，由直線l的方程kx﹣y+1+2k=0可得與坐標軸的交點A ，B（0，1+2k）， ，k≠0，解得：k＞0．故S= ×|1+2k|= ，利用基本不等式的性質即可得出．