Question

【題目】已知四棱錐中，底面，，，，.

（1）當變化時，點到平面的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）當直線與平面所成的角為45°時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)根據幾何關系得到面，進而得到點面距離；（2）根據線面角得到，所以，建立坐標系求得面的法向量由向量夾角的計算公式，進而得到二面角的余弦值.

（1）由，，知，則，

由面，面得，由，，面，

則面，則點到平面的距離為一個定值，.

（2）由面，為在平面上的射影，則為直線與平面

所成的角，則，所以.

由，得，故直線、、兩兩垂直，因此，以點

為坐標原點，以、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，易得，，，于是，，

設平面的法向量為，則，即，取，則

，，于是；顯然為平面的一個法向量，

于是，

分析知二面角的余弦值為.