【題目】設
，命題p：函數
在
內單調遞增；q：函數
僅在
處有極值.
（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；
（2）若命題
是真命題，求a的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1)函數
僅在
處有極值，則
在左右兩側導數符號相反，可得
恒成立，轉化為求解二次不等式的恒成立問題；（2）當p是真命題時，利用復合函數“同增異減”研究
的單調性問題，求出相應a的范圍，又
是真命題，則
至少有一個是真命題，所以取p是真命題時a的取值集合與
是真命題時a的取值集合的并集即可.
（1）由題意知，，顯然不是方程
的根,
為使僅在處有極值，必須恒成立，即
，
解不等式，得
，這時
是唯一極值，
因此滿足條件的a的取值范圍是
.
（2）當p是真命題時，
對
恒成立,則
，記
，則
當
時，要使得是增函數，則需有
對恒成立，所以
，與矛盾；
當
時，要使得是增函數，則需有
對恒成立，所以
，所以
.
記當p是真命題時a的取值集合為A，則
；
記當是真命題時a的取值集合為B，則
.
因為是真命題，
所以a的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱柱
中，側棱
底面
，
平面
，
，
，
，
，
為棱
的中點.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）設點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求線段的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為
，且過點
．點M(3，m)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求證：
；
(3)求△F1MF2的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
直線
與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓C上一點，若過點
的直線
與橢圓C相交于不同的兩點S和T，
滿足
（O為坐標原點），求實數
的取值范圍．
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